3. Random Variables of the Discrete Type (이산 확률변수)

본 포스팅은 충남대학교 이윤희 교수님의 수리통계및실습 수업과 Probability and Statistical Inference(Hogg, Tanis, Zimmerman 저)를 참고하였습니다.

 

Def) Random Variable

S를 sample space라고 했을 때 random variable(이산 확률변수)는 S에서 실수R로 가는 하나의 함수입니다.

다음과 같이 Sample Space에서 실수로 가는 함수 X를 random variable이라 합니다.

sample space에 있는 outcome들을 실수화 하여 수학적으로 분석하기 위해 만든 변수라고 생각하면 이해하기 쉽습니다.

 

이때 대응 되는 실수값들을 space of X(Im(x))라고 부르며 집합론적 표기는 아래와 같습니다.

여기서 S는 Sample space가 아닌 Space of X임을 알아야 합니다. Sample space는 확률변수의 정의역에 해당하는 것이며 반대로 Space of X는 확률변수의 치역입니다.

 

 

Def) Discrete, Continuous random variable

확률변수의 Space of X에 해당하는 것들이 finite 이거나 자연수와 one to one - onto 를 만족한다면 X를 discrete random variable(이산 확률변수),

확률변수의 Space of X에 해당하는 것들의 image가 interval안에서 존재한다면 X를 continuous random variable(연속 확률변수)라고 부릅니다.

 

두 변수를 구분하는 기준은 Space of X 집합의 finite, countable / uncountable입니다.

 

 

Def) Probability Mass Function

X가 discrete random variable 이라고 했을 때, 함수 f를 아래와 같이 정의할 수 있습니다.

이때 f를 probability mass function (p.m.f) (확률질량함수) 이라고 부릅니다.

Space of X의 관점에서 본다면 좀 더 이해하기 쉽습니다.

즉, f의 정의역은 Space of X인 것입니다. 확률변수가 x가 되도록 하는 Space of X의 s에 대한 확률이기 때문입니다.

 

probability mass function은 아래 3가지 조건을 만족해야합니다.

(a)는 확률자체가 0보다 값이 커야한다는 의미입니다.

(b)는 확률의 모든 합 자체는 disjoint이므로 합으로 표현할 수 있습니다. 확률의 모든 합은 1이됩니다.

(c)는 Space of X의 부분 집합 A에 대해 확률을 구한 것입니다. f(x)자체가 probability mass function이고 정의역이 Space of X이기 때문에 위와 같이 계산하면 서로 값이 같아집니다.

 

(c)는 간단한 과정을 통해 유도 또한 가능합니다.

 

이렇게 위 3가지 조건을 만족하면 우리는 f를 probability mass function이라고 부를 수 있습니다.

 

Def) Support of X

support of X는 확률 값이 양의 값을 가지는 Space of X의 값을 모아둔 집합입니다.

 

 

Def) Cumulative Distribution Function

cumulative distribution function은 c.d.f라고 줄여서 많이 불립니다. function은 아래와 같습니다.

이 또한 간단하게 유도가 가능합니다.

c.d.f는 양수인 확률을 축적해서 더하는 것이므로 x값이 커질수록 y값이 커지는 increasing function입니다. 확률의 합은 1을 넘지 않으므로 c.d.f 또한 0과 1사이의 function이 됩니다.

그래프를 시각화 하면 아래와 같습니다.